密码专栏 | 动手计算双线性对（下）
趣链科技前言
上一篇文章中，我们在 " F_101 " 上找到了17个点满足椭圆曲线方程，他们构成一个循环。那么在 " F_101 " 中元素作为坐标的点中还有没有其他的点也满足方程呢？换句话说，上篇文章列出的17个点是不是就是满足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以验证(3,38)也满足椭圆曲线的方程，但是他不是上面17个点中的一个。
另一个子群
实际上，我们甚至可以通过将(6,44)作为生成元来得到一个102个元素的循环群，这个循环群涵盖了曲线在 " F_101 " 上的全部点。但是，曲线在 " F_101 " 上的循环周期为17的循环群却只有中篇列出的一个，也就是说在 " F_101 " 上讨论的话，循环周期为17的点已经被我们全部找到了。
在中篇中，我们也提到数域的扩张会直接影响我们需要讨论的点的多少，那么如果我们对 " F_101 " 进行扩张，是否能够得到更多的循环周期为17的点呢？METASTATE的博客中给出这样一个例子，我们将用这个例子说明这个命题的真假。首先我们选择满足 j^2 mod 17 = 15的j用于对 " F_101 " 的扩张，过程就像我们上一篇文章中进行的那样，扩张后的域记为 “ F_101的二次扩域 ” 。在这个扩张下，我们可以找到另一个循环周期为17的群，下面的表格列出这个群的全部元素：
我们随机选择 (66,0+23j) 这个元素来验证其满足曲线方程：
左侧：y^2 mod 101 = （23j）^2 mod 101 = 23 × 15 mod 101 =42
右侧：x^3 + 3 mod 101 = 41^3 = 3 mod 101 =42
左侧等于右侧，验证完毕。
在发现通过域扩张后还能找到更多的 17 阶点后，我们不禁会想：
继续对 ” F_101的二次扩域 ” 进行扩张，能否找到更多的 17 阶点呢？
或者是：为了找到全部的 17 阶点，我们需要对 F_101 进行几次扩张呢？
嵌入度其实就是描述这个问题的一个概念。E 是定义在 F_101 上的椭圆曲线，我们已经有一个包含n=17个点的子群，我们称这个子群的嵌入度是满足 17 整除 q^k-1 的最小的k。在这个例子中，k=2。计算嵌入度的价值在于事实证明，当对 F_101 进行扩张以期其上的椭圆曲线包含全部 17 阶点时，最小的扩张次数就等于嵌入度。也就是说在 ” F_101的二次扩域 ” 上，我们已经找到全部的17阶元素。
Millier循环
下面给出计算双线性映射的Millier算法，当计算 e(P,Q) 时，该算法根据P的坐标创建一个二元多项式，然后将 P 坐标的 x 和 y 分量带入求值：
METASTATE的博客中作者已经计算了 e((1,2),(90,82u)) 点的结果为 97+89j 。我们给出另外一个计算的例子，并且稍后通过对比这两个例子的结果说明双线性对的一些属性。
其中 f_17 是二元的多项式，通过一个称为Millier循环的过程我们可以生成该多项式，这个过程类似于计算指数运算时的mul-and-square操作。但是为了更直观的展示原理，我们选择根据上文定义直接展开计算 f_17 ，这会增加一些计算量。
因此我们需要计算
的表达式。通过查询上一篇文章的列表我们可以找出P，±2P，±4P，±8P, ±16P的值,其中P=(12，32)=5G：
接下来我们来计算这些直线的方程：
这样我们已经可以计算 f_17 的结果：
最后我们计算 (81+ 52j)^600
完全解决curve101配对问题
实际上，我们可以计算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值为7+28j。这样我们能够完全掌握GT中全部的元素：
可以看到GT也是一个循环群，他其实是在 “ F_101的二次扩域 ”上满足方程 x^17 = 1 的17个根。根据该表我们不加以计算就可以知道这个配对的任何一个计算结果，例如 e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2), 因此其值就是上表的第5个元素：93+25j。我们之所以能够完全解决curve101的配对问题，是因为curve101的一系列参数决定其足够简单，而实际零知识证明算法中使用的配对就要复杂很多。例如一些标准中要求其配对曲线的嵌入度至少为12，这意味着GT的元素至少是基础素域的12次扩张！如果其素域特征为常见的256位（比如BN256），那么为了表示一个GT元素就需要256*12/8= 384字节的大小。对于任何一个实际使用的曲线，其计算复杂度和规模都使我们当前绝无可能计算出其映射表，这也是离散对数问题困难的所在。
通过系列文章，我们计算了一个简单的配对曲线，加深了对双线性映射的理解。后续，我们继续使用这个配对曲线来讲解和演示零知识证明中Groth16算法的过程和原理，敬请期待。
乔沛杨 趣链科技基础平台 区块链底层密码学小组
