【密码专栏】超强进阶：PLONK VS Groth16（上）

    前言
    前文《天冷了，干了这碗“零知识证明”鸡汤》对「零知识证明学习」作了一个形象化的比喻：炖鸡汤。那么本系列的主要内容可以简单概括为《论高压锅炖鸡汤的一百种方法》之方法二。在学会了“清炖鸡汤”之后，不如来一口“阿胶鸡汤”补补脑细胞吧！
    正如鸡汤不同风味之间各具千秋，不同的zk-SNARK方案也各有所长。zk-SNARK方案可以被分为【通用】与【非通用】zk-SNARK，PLONK与Groth16分别是其中的典型代表。通过本系列，我们将对PLONK算法内容作简要介绍，并指出PLONK和Groth16算法思路上的异同。
    PLONK算法在[1]中提出，由来自于Protocol Labs的研究员Gabizon和以太坊隐私交易协议 Aztec Protocol 的两名研究人员合作完成。PLONK的提出晚于Groth16，在证明和验证的性能上与Groth16也存在一定差距，但是基于通用可更新的可信设置这一特点，使PLONK算法在零知识证明领域占据了一席之地。
    可信设置
    可信设置可以说是PLONK和Groth16两者间最显著的差异。正是为了避免一次性的可信设置，PLONK设计了后续的约束系统和问题压缩方式。那么什么是零知识证明中的可信设置呢？可信设置实际上是在创建一个用于证明验证的秘密，任何知道这个秘密的人都可以伪造证明通过验证。如果将零知识证明看作是一扇挡在证明者a和验证者b之间上锁的门，那么合法构建的证明就是可以打开门的口令，a提供口令即可进入房间。但是如果a得知了门的秘密也就是房间窗户的位置，那么a可以直接无视锁的存在翻窗进入房间。
    ▲无窗的房间（无需可信设置的零知识证明）
    显然，最安全的做法是找一个「没有窗的房间」，这也是一部分零知识证明方案的思路——无需可信设置，例如可扩展透明知识论证zk-STARKs和防弹证明Bulletproofs。虽然它们的安全性得到提高，但是目前这类方法的证明验证性能是远低于zk-SNARKs的，近线性的验证和规模较大的证明（proof）使其不适用于很多场景。
    ▲窗户位置指定策略（基于可信设置的零知识证明）
    PLONK和Groth16的做法都是保留窗户，但是尽力保护窗户的位置不被别人知道。
    

• Groth16的做法是：根据不同的问题，每次都指定窗户在房间中的摆放位置，也就是它需要一次性的可信设置。
• 而PLONK面对不同的问题时：窗户的位置是固定不变的，即窗户的位置只需要被指定一次。也就是说PLONK的可信设置是通用的。
      

    那么这些窗户指定的位置由谁来确定呢？当然，可信第三方是一个备选项。但这意味着说这间房间是否会被恶意证明者攻破，其安全性寄希望于这位第三方。除此之外还有一项热门技术也可为其提供思路——多方安全计算（MPC）。沿用之前的例子，可以不太严谨地将MPC概括为：多个人共同指定窗户的位置，除非这些参与者全部联合起来对答案，这个位置将无法由任何人得知。
    显然，使用MPC时，参与者的数量越多，秘密的安全性越高，这类可信设置也比可信第三方更为用户所接受。遗憾的是，虽然目前提出了基于Groth16的可信设置[2]，但是由于Groth16的秘密计算与特定的问题相关联，每次遇到新的问题时，必须重新开启一轮MPC可信设置。可想而知，需要多方参与的计算协议将是极为繁琐的，这样将大大影响Groth16的性能。相比之下，具备通用性的PLONK与MPC的适配度极高。
    而之前提到的PLONK可信设置的可更新性则是指：通用的PLONK秘密可以通过再开启一轮MPC作更新。新生成的秘密安全性建立在两次MPC的安全性上，只要两次中有一个参与者是诚实的，这个秘密就是可信的。
    约束系统
    Groth16及PLONK均将程序（NP问题）先转化为一个由加法门和乘法门组成的算术电路，再通过将电路构建为多项式的形式来进行后续的计算。本节我们将使用Vitalik文章[3]中的一个简单例子进行说明：
    对于程序qeval, prover需要证明自己知道qeval(x)=35的解，即x=3。
    def qeval(x):
    y = x**3
    return x + y + 5 ，其转化为算术电路可表示如下：
    
    PLONK中，上图电路的描述由两部分组成：门约束与线约束（copy?constraints）。门约束固定电路中每个门的动作。此外，在电路中我们规定相连线的值应保持一致（例如a1=b1），对此线约束规定这些线的关系。接下来我们分别讨论两类约束的多项式表示。
    门约束
    在PLONK中，对于第i个门，可被描述为如下形式：
    （QLi)ai+(QRi)bi+(QOi)ci+(QMi)aibi+Qci=0
    其中Q均为常数，a, b, c则是信号的下标。具体地，在PLONK中门约束可以被分为三类：算术约束（加法门和乘法门）、布尔约束、公共输入约束。
    【算术约束】最为常见，用于表示电路中的所有加法门和乘法门，此时a,b,c分别表示门的左右输入和输出信号下标，Q_C一般为0。根据门的类型剩余的符号有不同的取值：
    

• 加法门：QLi=1，QRi=1，QOi=-1，QMi=0
       ??ai+bi-ci=0
• 乘法门：QLi=0，QRi=0，QOi=-1，QMi=1

    -ci+?aibi=0
    【布尔约束】顾名思义，用于约束布尔类型的信号，其值只能取0或1。例如现在需要约束下标为j的信号∈{0, 1}，那么门约束式子中各变量的取值为：
    ai=bi=j，QLi=-1，QMi=1，QOi=QRi=Qci=0
    -j+j*j=0
    另外，针对问题中出现的证明方和验证方都知道取值的输入（公共输入），需要在约束系统中有所体现。例如要求约束下标j的信号取值为v，对应的取值为：
    ai=j，QLi=1，QMi=QOi=QOi=0，Qci=-v
    j-v=0
    利用该式，我们可以很容易地表示上图中的所有门约束：
    
    与Groth16类似，可以将所有的多项式组整合在一个多项式中：
    
    线约束
    线约束可以分为两种情况：
    同一多项式内部，例如：a1=a3
    不同多项式之间，例如：a1=b1
    当只需要考虑情况1时，可以通过构造p(x)=P(x)来实现约束：
    X(X)=X
    p(X+1)=p(X)*(β*X(X))+Y(X)+γ）
    P(X+1)=P(X)*(β*X(σ(X))+Y(X)+γ）
    p(0)=P(0)=1
    其中β,γ为随机数，X->Y表示了待约束的多项式（例如: x-> a(x) ），P(x)使用了x的置换σ(x)。对于下面例子：
    X(1) → Y(1)
    X →Y：X(2)? →?Y(2)? and，Y(1)=Y(3)
    X(3) →?Y(3)
    σ(1)=3
    σ(X)：σ(2)=2
    σ(3)=1
    当且仅当Y(1)=Y(3)成立时，p(x)=P(x)。
    现在，让我们增加问题的复杂度：需要约束的多项式个数为k时（仍然只考虑情况1）。自然地，设门的总数为n，我们可以对第j个多项式构造对应的p_j(x)=P_j(x)，即
    
    进一步地，情况2的出现要求对以下情况中的x作区分：
    pj(x) and?pi(x)? ? ? ?（i不等于j，i，j∈[? n?]）
    那么可以增加对x的映射，对于第j个多项式：
    X(X)=(j-1)*n+X
    p(X+1)=p(X)*(β*X(X))+Y(X)+γ）
    P(X+1)=P(X)*(β*X(σ(X))+Y(X)+γ）
    p(0)=P(0)=1
    以上就是线约束的全部内容，其实质是为了保证电路中同一条或相连线上的值相等。
    与Groth16类似，将上述的约束联立将得到一个完整的PLONK约束系统。通过将抽象的代码和电路转化为约束系统R1CS，我们可以将一个零知识证明问题固定下来。让我们带着问题进入下篇：PLONK中如何将R1CS转为多项式描述？它与Groth16做法区别在何处？敬请期待！
    
    [1] Ariel Gabizon and Zachary J. Williamson and Oana Ciobotaru. (2019). PLONK: Permutations over Lagrange-bases for Oecumenical Noninteractive arguments of Knowledge.
    [2] Sean Bowe and?Ariel Gabizon and Ian Miers. (2017). Scalable Multi-party Computation for zk-SNARK Parameters in the Random Beacon Model.
    [3] https://vitalik.ca/general/2019/09/22/plonk.html