在三维空间中表示平面和直线

    平面和直线是三维计算机视觉和计算机图形学中有用的几何实体。将它们表示为一组点是低效的，这会导致很大的内存需求，具体取决于用于生成点的步长。
    在本文中，我将讨论如何使用向量方程表示平面和直线。我还将介绍如何使用向量形式找到直线和平面之间的交点。
    三维线条
    我们可以用下面的等式［1］表示向量形式的直线。
    p ＝ l? ＋ l ＊ ＊＊ d，＊＊ d ∈ R
    其中，I是一个向量，表示直线方向，l?是直线上的一个点，d是标量。
    p是直线上的通用点，这些点定义了线。因此，为了定义直线，我们只需要知道6个数字／参数，就可以用向量形式完整地表示它。
    我创建了一个类来表示线向量并绘制它。它由一个vector和一个point＿on＿line参数化，它们都是3x1 numpy列向量。
    要在直线上获得点，我们可以使用该方程。通过缩放vector改变d。
    
    我将展示一些样本行。
    向量（1，1，1）点（0，0，0）；
    
    如果你想要一条横跨二维平面的线，那么你可以使用一个在两个坐标中只有非零值的向量，你将在二维平面中得到一条线。向量（1，1，0）点（0，0，0）：
    
    三维平面
    我们可以用下面的等式表示向量形式的平面。
    （p — p?） ＊  n ＝ 0，其中n是平面的法向（垂直）向量，p?是平面上的点。
    上述方程式中所有点p的轨迹定义了该平面。（p — ＊＊p?）＊＊表示平面中的向量，n表示平面的正交向量或法向量。因此，对于平面上所有点p的这些向量，相互正交的这两个向量的点积将为零。
    用六个数字来表达一个平面十分优雅！
    下面是Python中使用上述定义的平面类。
    
    接下来，让我们看看如何找到直线和平面的交点。
    3D中点与平面的交点
    现在我们知道了如何在3D中表示点和平面，我们可以看看如何找到这两个几何图形之间的交点。
    如果一条直线和某个平面在点p相交，它将同时满足直线和平面方程。因此，为了找到交点，将p的值从直线方程代入平面方程。
    （（ ＊＊l? ＋ l ＊ ＊＊ d） — p?） ＊ n ＝ 0
    展开这些项可以得到以下等式。
    （l ＊  n） d ＋ （l? — p?） ＊  n ＝ 0
    求解d得到：
    d ＝ （p? — l?） ＊  n ／ （l ＊  n）
    这返回给我们一个点，该点位于直线和平面上。
    有三种情况。
    首先是直线和平面平行，但直线不在平面内。
    接下来是，正好有一个交点。
    最后，直线平行于平面并在平面中，在这种情况下，直线中的每个点也将位于平面上。因此，在这种情况下，将有无限多个点同时满足这两个方程。
    
    对于前两个案例，l ＊  n ＝ 0，因为对于它们，I垂直于法向量n。否则，我们将得到一个实数d，它可以在直线方程中替换回来，以得到交点：
    p ＝ l? ＋ l ＊ d
    我已经为平面和直线类编写了一个基于上述方程计算交点的函数。请注意，函数是相同的等式，唯一不同的是代码语法。class Line：
    
    
    现在，我们可以使用plane和line类来查找它们之间的交点。例如：
    
    我们可以使用Symphy验证结果：
    
    我们也使用Symphy实现来验证我们的代码。
    
    结论
    在本文中，我们研究了3D中的线和平面。我们看到了它们的向量方程，以及如何用一个向量和一个点来表示它们。这是一个非常紧凑的表示，只有六个数字。我们最终了解了如何找到两者之间的交叉点，并查看了三种可能的交叉点情况。
    参考文献